Home | About us | Activities | Alumni | Webboard | Download | Proceedings | Contact us
 

[ตั้งกระทู้ใหม่] [กระทู้สมัยนิยม] [ตอบกระทู้]
 
ลำดับฟิโบนักชี

เอ่อ... อยากรู้เรื่องเกี่ยวกับฟิโบนักชีอ่ะค่ะ คือหนูไม่ค่อยรู้เรื่อง รบกวนผู้รู้เกี่ยวกับเรื่องนี้ช่วยอธิบาย หรือ แนะนำหนังสือดีๆ ให้หน่อยน้าค้า
ขอบคุนล่วงหน้าค่า

โดย: NiTe pringles_2001@hotmail.com วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
1)
ข้อความ: Fibonacci เป็นผลงานทางคณิตศาสตร์ของชาวอิตาเลี่ยนคนนึงเป็นนักคณิตศาสตร์
ผมจำชื่อเค้าไม่ได้ แต่รู้ว่านามสกุลปู่เค้าคือ ฟิโบนักชี่
ประมาณว่าหมอนั่นมันไปแอบดูกระต่าย
เอากัน แล้วเก็บข้อมูลว่าในแต่ละช่วงเวลา (period) มีจำนวนประชากร (population) เพิ่มขึ้นกลายเป็นเท่าไหร่
ตอนแรกมันเอากระต่ายไปปล่อย 2 ตัว
แล้วกระต่ายมันก็ออกลูก แล้วลูกมันก็ไปเอาแม่มัน หรือไม่ไอ้ตัวพ่อ ก็ไปเอาลูกสาวมันเอง
แล้วก็เกิดลูกเกิดหลาน เอากันมั่วซั่วไม่ดูหัวหงอกหัวดำ แล้วประชากรก็เพิ่มแบบรวดเร็วเป็นลำดับดังกล่าวนั่นแหละ ตอนนี้ผมตอบได้แค่นี้

โดย: เร วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
2)
ข้อความ: Wow, you brutally made his work from fascinating to disgusting.
Boy!

โดย: Damn! วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
3)
ข้อความ: ขออภัยในความไม่เคารพ

โดย: เร วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
4)
ข้อความ: หนังสือภาษาไทยสองเล่มที่น่าจะมีเกี่ยวกับเรื่อง Fibonacci โดยสังเขปคือ
"ภาษาคณิตศาสตร์" และ "คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน"
มันค่อนข้างจะเก่าหน่อย แต่คงหาไม่ยากตามห้องสมุดโรงเรียนมัธยมปลาย
หรือลองเข้าลิงค์นี้ดู
http://www.geocities.com/pongkiat007/issue/fibonacci/fibonacci.htm
น่าจะช่วยได้ไม่มากก็น้อย

โดย: เร วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
5)
ข้อความ: นี่อาจะช่วยอะไรได้บ้าง หรือไม่ก็ไม่ช่วยอะไรเลย
http://www.textism.com/bucket/fib.html

check it out !

โดย: เร วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
6)
ข้อความ: อันนี้เก๋ากว่า
http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/bioweek/5/index5.htm

โดย: gi วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
7)
ข้อความ: This is the most explicit and straightforward explanation of Fibonacci I've ever heard. I was laughing like hell in the library when I first read it. IPST might have to consider putting this in the 12th grade curriculum.

Seriously, I'm pretty sure that many students will inspired by the explanation. Since fucking rabits can be maths (Fibonacci might first just observed them for his entertainment, and later think about the science), they will soon learn to appreciate math as a friendly model of nature and may even consider mathematician as their future career.

โดย: Islander วันที่ 15 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
8)
ข้อความ: ฟีโบนาซี่ คือ การเรียงลำดับจำนวน มีการเรียกอีกอย่างว่า ลำดับอนุกรมฟีโบนาซี โดยเริ่มจาก 1,1 แล้วบวกพจน์หน้าเข้าด้วยกัน ได้เป็นลำดับฟีโบนาซี เช่น
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144...

โดย: ธีระพงษ์ เพชรพิทยาคม วันที่ 16 ธันวาคม 2546 IP: 192.168.1.108
9)
ข้อความ: Oh, gay couple again..
Give me a break!

โดย: Islander gozzip วันที่ 16 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
10)
ข้อความ: เห็นแล้วก็อยากแจมมั่งครับ คือผมเคยเรียนมาประมาณนี้

Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) เป็นชาวอิตาลี ปัญหานี้เขาเป็นคนคิดขึ้นมาโดยสังเกตจากจำนวนของกระต่ายในรอบหนึ่งปี โดยมีเงื่อนไขที่ว่า

- กระต่ายทุกตัวใช้เวลา 1 เดือนในการเข้าสู่วัยเจริญพันธุ์
- กระต่ายออกลูกเดือนละตัว (หลังจากเข้าสู่วัยเจริญพันธุ์แล้ว)
- ในรอบหนึ่งปีนั้น ไม่มีกระต่ายตัวใดตาย

ถ้าลองวาดเป็นแผนภาพดู จะได้เป็นประมาณนี้ครับ

เดือนที่ กระต่าย (O - กระต่ายวัยละอ่อน, X- กระต่ายวัยเจริญพันธุ์)
------------------------

0 O (1 ตัว)
1 X (1 เดือนต่อมา ก็เข้าสู่วัยเจริญพันธุ์) (1)
2 X O (X ในเดือนก่อนออกลูกมาตัวนึง แน่นอนว่าลูกกระต่ายยัง virgin ..) (2)
3 X X O (X ตัวเดิมออกลูกตัวที่ 2 ส่วนลูกตัวแรกก็เป็น X) (3)
4 X X X O O (เจ้า 2X นั่นก็ออกลูกมาอีกเจ๊ละตัว ส่วน O ในเดือนก่อนก็กลายเป็น X) (5)
ทำไปเรื่อยๆครับ....
5 X X X X X O O O (8)
ุ6 X X X X X X X X O O O O O (13)
...

คราวนี้เราก็จะเกิดความสงสัยว่า แล้วในเดือนที่ n จะมีจำนวนกระต่ายกี่ตัว?

จากแผนภาพข้างต้น จะเห็นได้ว่าจำนวนกระต่ายในเดือนหนึ่ง (สมมติว่าเดือน n ก็แล้วกันครับ) จะประกอบไปด้วยพวกเจริญพันธุ์ (X) และพวกที่เพิ่งเกิดใหม่ในเดือนนั้น (O) โดยที่จำนวนของ X นี้ก็จะมาจากจำนวนกระต่ายในเดือนก่อนทั้งหมด (ซึ่งมีทั้งพวกที่เป็น X อยู่แล้วรวมกับพวกที่เพิ่งเป็น X ในเดือนปัจจุบัน) ส่วนจำนวนของ O กระต่ายเกิดใหม่นั้นก็จะเท่ากับจำนวนของแม่กระต่าย (X) ในเดือนก่อนนั่นเอง ด้วยแนวคิดเดียวกันนั่นเอง จำนวนของ X ในเดือนก่อน (n-1) ก็จะเท่ากับจำนวนกระต่ายทั้งหมดในสองเดือนก่อน (n-2)

เพราะฉะนั้นจากข้างต้นนี้ เราจะได้ความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด (Recurrence Relation) ว่า

a(n) = a(n-1) + a(n-2), n>=2

เมื่อ a(n) = จำนวนกระต่ายทั้งหมดของเดือนที่ n, และ a(0) = 1, a(1) = 1 (ผมพิมพ์ตัวห้อยไม่เป็นครับ โทษที)
ลองบวกดูเอาเองนะครับ

และนี่แหละครับคืองานของ Fibonacci ปัจจุบันนี้ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีผู้สามารถแปลงเป็นสูตรปกติที่สามารถให้เลขของ Fibonacci ในลำดับที่ n ได้โดยง่าย เพียงแต่แทนค่า n ลงไปในสมการนี้ครับ



เมื่อ n = 0,1,2, ... (สูตรนี้เขาให้ a(0)=0, a(1)=1 ครับ ถ้าให้ a(0)=1, a(1)=1 อย่างข้างต้น ก็แปลง n เป็น n+1)

ส่วนที่มาของสมการพิลึกนี้ มีในวิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยครับ (ผมเพิ่งเรียนไป) มีวิธีหาและใช้เวลาไม่นานครับ..... ท่านสามารถ (และควร) หาข้อมูลอ้างอิงจากแหล่งอื่น ตามเว็บต่างๆก็มีเยอะครับ

ความรู้ผมคงไม่สมบูรณ์นัก "โปรดใช้วิจารณญาณในการอ่าน และเชื่อเมื่อท่านมีแหล่งอ้างอิงที่ดี" หากมีข้อผิดพลาด ขออภัยด้วยนะครับ


Reference
Name and Year: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Fibonacci.html

Formula: http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html


โดย: General 16th วันที่ 16 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
11)
ข้อความ: ขออภัยครับ สูตรปกติควรเป็น



แต่สูตรแรกก็ work ครับ แต่ Advance กว่า

โดย: General 16th วันที่ 16 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
12)
ข้อความ: ขอบคุณเพื่อนๆ มากค่า ที่อุตส่า เสียเวลามาตอบกัน ขอบคุณเจงๆค่ะ

โดย: Nite วันที่ 17 ธันวาคม 2546 IP: Unknown
13) ข้อความ: ด้เรีส

โดย: ดหพ่น zindy@hotmail.com วันที่ 21 ธันวาคม 2551 08:21 น. IP:Unknown


14) ข้อความ: หากเราสังเกตธรรมชาติรอบตัวเรา จะเห็นถึงความแตกต่าง หลากหลายในแต่ละสิ่งทั้งในพืช สัตว์ และสิ่งมีชีวิตอื่นๆ ซึ่งในความหลากหลายนั้น ยังมีบางสิ่งที่มีลักษณะเฉพาะในตัวของมันเองและเป็นเช่นนี้เสมอสำหรับสปีชีส์หรือสายพันธุ์เดียวกัน ซึ่งถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่ามันมีความเกี่ยวข้องกับความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างลงตัว ตัวอย่างหนึ่งที่เห็นได้อย่างเด่นชัด คือ ลำดับฟิโบนักชี
ลำดับฟิโบนักชี

ลำดับฟิโบนักชี มีรูปทั่วไป คือ an = an-1 + an-2 (หมายความว่าลำดับตัวใดๆ จะเท่ากับผลบวกของสองตัวก่อนหน้า ) โดยกำหนดให้ a1 = a2 = 1 ดังนั้น จึงเขียนลำดับฟิโบนักชีได้ในรูป 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ผู้ค้นพบลำดับดังกล่าว ชื่อ Leonardo Pisano Fibonacci(ในรูปด้านบน) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี โดยค้นพบจากปัญหาเรื่องการเกิดของกระต่ายในแต่ละรุ่น(ดังรูป)

ลำดับฟิโบนักชีเกี่ยวข้องกับธรรมชาติอย่างไร
ถ้าหากเราสังเกตดอกไม้รอบๆตัวเรา จะเห็นว่าดอกไม้ส่วนใหญ่มีจำนวนกลีบเป็น 1 กลีบ(หน้าวัว) 2 กลีบ(โป๊ยเซียน) 3 กลีบ 5 กลีบ 8 กลีบ 13 กลีบ 21 กลีบ และ34 กลีบ (เดซี่) (คลิกดูตัวอย่าง) จะเห็นได้ว่านี่คือตัวอย่างที่สังเกตได้ง่ายที่สุดที่แสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องระหว่างธรรมชาติกับคณิตศาสตร์ เพราะตัวเลขเหล่านี้ เมื่อมาเขียนเรียงกันก็จะได้เป็นลำดับฟิโบนักชีนั่นเอง ซึ่งอาจจะมองเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับดอกไม้ที่มีจำนวนกลีบน้อยๆ แต่ถ้ามีจำนวน 21 กลีบ หรือ 34 กลีบ หรือ 55 กลีบ ก็อาจถือได้ว่าเป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจเหมือนกัน

ในดอกทานตะวัน 1 ดอก จะมีเกสรย่อย(จริงๆแล้วคือดอกย่อย) อยู่จำนวนมากภายใน ซึ่งจะเรียงตัวกันเป็นแนวเส้นโค้ง(spiral)ออกจากศูนย์กลางทั้งในทิศทวนเข็มและตามเข็มนาฬิกา

ถ้าเราสังเกตและทดลองนับแนวเส้นโค้งทั้งสองทิศ จะพบว่า ตัวเลข 2 ตัวที่ได้ มักจะเป็น 21 กับ 34 หรือ 34 กับ 55 เป็นต้น แล้วแต่ขนาดของมัน ซึ่งน่าแปลกใจว่า ตัวเลขที่ได้มาก็เป็นส่วนหนึ่งของลำดับฟิโบนักชีนั่นเอง

สับปะรดมีตาอยู่โดยรอบ แต่ถ้าสังเกตดีๆ ตาสับปะรดจะเรียงตัวเป็นแนวเดียวกันในแนวตั้ง ทั้งจากซ้ายไปขวา และจากขวาไปซ้าย ซึ่งพบว่าจำนวนเส้นแนวดังกล่าว ในสองทิศทาง มักจะเป็น 5 กับ 8 หรือ 8 กับ 13 และตัวเลขเหล่านี้ก็อยู่ในลำดับฟิโบนักชีเช่นกัน
ตัวอย่างลักษณะนี้สามารถพบเห็นได้ทั่วไปในพืชชนิดอื่นๆ เช่น ลูกสนบางชนิดหรือดอกไม้บางชนิด เป็นต้น


ตัวอย่างที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งก็ คือ หอยนอติลุส ซึ่งเมื่อเราจำลองลักษณะเส้นโค้งจากภายในออกมาภายนอก และวาดรูปสี่เหลี่ยมล้อมรอบ รูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กซึ่งมีอัตราส่วนของความยาวด้าน เป็น 1 : 1 : 2 : 3 : 5 : 8 : 13 (ดังรูปด้านล่าง) ซึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสย่อยๆเหล่านี้ก็สอดคล้องกับเส้นโค้งที่จำลองจากหอยนอติลุสอย่างพอดี



จากรูปจะเห็นได้ว่าผลบวกในแนวทแยงขึ้นของจำนวนในสามเหลี่ยมปาสคาลจะเป็น 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ซึ่งก็แสดงว่า ลำดับฟิโบนักชีนั้นแทรกตัวอยู่ในสามเหลี่ยมปาสคาลด้วย
นอกจากความสัมพันธ์กับสิ่งต่างๆในธรรมชาติข้างต้นแล้ว ลำดับฟิโบนักชียังเป็นที่มาของความรู้ทางศิลปะและสถาปัตยกรรมที่สำคัญด้วย เช่น อัตราส่วนทอง อันเป็นที่มาของความงามในสถาปัตยกรรมต่างๆทั้งอดีตและปัจจุบัน หรือ ภาพวาดทางศิลปะอันสวยงาม เป็นต้น










โดย: พิก mko_123@hotmail.com วันที่ 30 มกราคม 2552 20:40 น. IP:Unknown


15) ข้อความ: งงจังเลย

โดย: เเมงกวาง kwangza_5555@hotmail.com วันที่ 4 มีนาคม 2552 17:34 น. IP:Unknown


16) ข้อความ: เจ๋งมาก

โดย: หน่อมแหน่ม วันที่ 6 สิงหาคม 2552 17:30 น. IP:Unknown


17) ข้อความ: //sad

โดย: 0 0 วันที่ 11 สิงหาคม 2552 19:53 น. IP:Unknown


18) ข้อความ: งงว่ะ

โดย: 43131 sommy_555@h....... วันที่ 17 มกราคม 2553 15:17 น. IP:Unknown


19) ข้อความ: เกลียดคนที่พิมพ์ว่า เร 15 ธันวาคมมาก

โดย: 17403219 - วันที่ 4 กุมภาพันธ์ 2553 10:58 น. IP:Unknown


20) ข้อความ: อยากรู้วิธีใช้สูตร a(n)=a(n-1)+a(n-2)ครับ
แบบอยากรู้ลำดับที่100ต้องแทนอย่างไรประมานนี้ช่วยคิดดูให้ทีนะครับ

โดย: เป้ nitiwatza@hotmail.com วันที่ 5 มกราคม 2554 20:03 น. IP:Unknown


21) ข้อความ: so sad ToT~

โดย: 007 1231 วันที่ 11 มกราคม 2554 21:00 น. IP:Unknown


22) ข้อความ:
ห่วยสุดๆ

โดย: 12tiger3 Tiger_290741@hotmail.com วันที่ 10 กุมภาพันธ์ 2554 12:45 น. IP:172.16.2.27


23) ข้อความ:
E=mc ยกกำลัง 2 คืออะไร

โดย: 12tiger3 Tiger_290741@hotmail.com วันที่ 10 กุมภาพันธ์ 2554 12:47 น. IP:172.16.2.27


24) ข้อความ:
เมื่อกี้ล้อเล่น By

โดย: 12tiger3 Tiger_290741@hotmail.com วันที่ 10 กุมภาพันธ์ 2554 12:52 น. IP:172.16.2.27


25) ข้อความ:
ก้อโอ.น้ะ(มั้ง)แต่ดีให้10เต็ม10อ่ะเยี่ยมกะลังเรียนพอดิบพอดีอ่ะขอให้มีงี้อีกก้อแระกันน้ะๆๆ( - _ -)/บ๊าย บาย

โดย: คนล่ะกัน tonandnop@hotmail.com วันที่ 10 กุมภาพันธ์ 2554 21:49 น. IP:Unknown


26) ข้อความ:



โดย: เพะกไ พะเ วันที่ 13 กุมภาพันธ์ 2554 14:31 น. IP:Unknown


27) ข้อความ:
GOOD

โดย: Zinnalinee@hotmail.com วันที่ 22 เมษายน 2554 18:00 น. IP:Unknown


28) ข้อความ:
GOOD

โดย: Zinnalinee@hotmail.com วันที่ 22 เมษายน 2554 18:01 น. IP:Unknown


29) ข้อความ:
GOOD

โดย: Zinnalinee@hotmail.com วันที่ 22 เมษายน 2554 18:02 น. IP:Unknown


30) ข้อความ:
ดีมากคับ...กำลังเรียนอยู่พอดี....ไปเรียนไม่ทันเเต่อ่านเเค่นี้ก็เข้าใจเเล้ว .. ขอบคุนจับ

โดย: ไงชาวโลก gusslove000@hotmail.com วันที่ 8 ธันวาคม 2554 21:12 น. IP:Unknown


31) ข้อความ:
ขอบคุณ

โดย: ต่อ kan วันที่ 31 มกราคม 2555 20:12 น. IP:Unknown


32) ข้อความ:
อยากรู้เรื่องลำดับเลขฟีโบนักชี

โดย: คัค วันที่ 19 กุมภาพันธ์ 2555 17:16 น. IP:Unknown


33) ข้อความ:
อธิบายไม่ค่อยรู้เรื่อง

โดย: wave waas_12@hotmail.com วันที่ 21 กุมภาพันธ์ 2555 16:47 น. IP:Unknown


34) ข้อความ:
ควรจะอธิบายให้มากกว่านี้เพราะว่าเท่าที่อ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจ


โดย: 10 00 วันที่ 21 กุมภาพันธ์ 2555 16:49 น. IP:Unknown


35) ข้อความ:
Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) เป็นชาวอิตาลี ปัญหานี้เขาเป็นคนคิดขึ้นมาโดยสังเกตจากจำนวนของกระต่ายในรอบหนึ่งปี โดยมีเงื่อนไขที่ว่า

- กระต่ายทุกตัวใช้เวลา 1 เดือนในการเข้าสู่วัยเจริญพันธุ์
- กระต่ายออกลูกเดือนละตัว (หลังจากเข้าสู่วัยเจริญพันธุ์แล้ว)
- ในรอบหนึ่งปีนั้น ไม่มีกระต่ายตัวใดตาย

ถ้าลองวาดเป็นแผนภาพดู จะได้เป็นประมาณนี้ครับ

เดือนที่ กระต่าย (O - กระต่ายวัยละอ่อน, X- กระต่ายวัยเจริญพันธุ์)
------------------------

0 O (1 ตัว)
1 X (1 เดือนต่อมา ก็เข้าสู่วัยเจริญพันธุ์) (1)
2 X O (X ในเดือนก่อนออกลูกมาตัวนึง แน่นอนว่าลูกกระต่ายยัง virgin ..) (2)
3 X X O (X ตัวเดิมออกลูกตัวที่ 2 ส่วนลูกตัวแรกก็เป็น X) (3)
4 X X X O O (เจ้า 2X นั่นก็ออกลูกมาอีกเจ๊ละตัว ส่วน O ในเดือนก่อนก็กลายเป็น X) (5)
ทำไปเรื่อยๆครับ....
5 X X X X X O O O (8)
ุ6 X X X X X X X X O O O O O (13)
...

คราวนี้เราก็จะเกิดความสงสัยว่า แล้วในเดือนที่ n จะมีจำนวนกระต่ายกี่ตัว?

จากแผนภาพข้างต้น จะเห็นได้ว่าจำนวนกระต่ายในเดือนหนึ่ง (สมมติว่าเดือน n ก็แล้วกันครับ) จะประกอบไปด้วยพวกเจริญพันธุ์ (X) และพวกที่เพิ่งเกิดใหม่ในเดือนนั้น (O) โดยที่จำนวนของ X นี้ก็จะมาจากจำนวนกระต่ายในเดือนก่อนทั้งหมด (ซึ่งมีทั้งพวกที่เป็น X อยู่แล้วรวมกับพวกที่เพิ่งเป็น X ในเดือนปัจจุบัน) ส่วนจำนวนของ O กระต่ายเกิดใหม่นั้นก็จะเท่ากับจำนวนของแม่กระต่าย (X) ในเดือนก่อนนั่นเอง ด้วยแนวคิดเดียวกันนั่นเอง จำนวนของ X ในเดือนก่อน (n-1) ก็จะเท่ากับจำนวนกระต่ายทั้งหมดในสองเดือนก่อน (n-2)

เพราะฉะนั้นจากข้างต้นนี้ เราจะได้ความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด (Recurrence Relation) ว่า

a(n) = a(n-1) + a(n-2), n>=2

เมื่อ a(n) = จำนวนกระต่ายทั้งหมดของเดือนที่ n, และ a(0) = 1, a(1) = 1 (ผมพิมพ์ตัวห้อยไม่เป็นครับ โทษที)
ลองบวกดูเอาเองนะครับ

และนี่แหละครับคืองานของ Fibonacci ปัจจุบันนี้ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีผู้สามารถแปลงเป็นสูตรปกติที่สามารถให้เลขของ Fibonacci ในลำดับที่ n ได้โดยง่าย เพียงแต่แทนค่า n ลงไปในสมการนี้ครับ



เมื่อ n = 0,1,2, ... (สูตรนี้เขาให้ a(0)=0, a(1)=1 ครับ ถ้าให้ a(0)=1, a(1)=1 อย่างข้างต้น ก็แปลง n เป็น n+1)

ส่วนที่มาของสมการพิลึกนี้ มีในวิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยครับ (ผมเพิ่งเรียนไป) มีวิธีหาและใช้เวลาไม่นานครับ..... ท่านสามารถ (และควร) หาข้อมูลอ้างอิงจากแหล่งอื่น ตามเว็บต่างๆก็มีเยอะครับ

ความรู้ผมคงไม่สมบูรณ์นัก "โปรดใช้วิจารณญาณในการอ่าน และเชื่อเมื่อท่านมีแหล่งอ้างอิงที่ดี" หากมีข้อผิดพลาด ขออภัยด้วยนะครับ


โดย: 1 100 วันที่ 21 กุมภาพันธ์ 2555 16:53 น. IP:Unknown


36) ข้อความ:
ผลบวกของบจำนวนนับตั้งแต่1-n=n/2 (n+1)คิดยังไงอ่ะ

โดย: ผู้สนใจ วันที่ 3 มีนาคม 2555 16:25 น. IP:Unknown


37) ข้อความ:
พิจารณาให้เห็นแบบง่ายๆ นะครับ
1 + 2 + 3 + ... + n
n + n-1 + n-2 + ... + 1

ทีนี้พอเห็นภาพไหมครับ แต่ละคู่ในแนวตั้งจะบวกกันได้ n+1 ทั้งหมด n ชุด

ดังนั้น 2(1+2+...+n)=n(n+1) นั่นเองครับ



โดย: spacetime วันที่ 4 มีนาคม 2555 04:53 น. IP:Unknown


38) ข้อความ:
ดูวิดีโอนี้เข้าใจง่ายกว่า
http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

โดย: วันที่ 4 มีนาคม 2555 17:59 น. IP:Unknown


39) ข้อความ:
เก่งมาก

โดย: น้ำ นรนรน วันที่ 4 มีนาคม 2555 18:15 น. IP:Unknown


40) ข้อความ:
ลำดับฟิโบนักชี 12 ตัวแรก คืออะไรครับ เป็นตัวเลข หรือ ตัวอักษร

"Question1"
จงเขียนลำดับฟิโบนักชี 12 ตัวแรก

โดย: Anusit Arayajuljit วันที่ 7 ธันวาคม 2556 13:40 น. IP:Unknown


41) ข้อความ:
ลำดับฟิโบนักชี 12 ตัวแรก คืออะไรครับ เป็นตัวเลข หรือ ตัวอักษร

"Question1"
จงเขียนลำดับฟิโบนักชี 12 ตัวแรก

โดย: Anusit Arayajuljit วันที่ 7 ธันวาคม 2556 15:01 น. IP:Unknown


42) ข้อความ:
ลำดับฟิโบนักชี 12 ตัวแรก คืออะไรครับ เป็นตัวเลข หรือ ตัวอักษร

"Question1"
จงเขียนลำดับฟิโบนักชี 12 ตัวแรก

โดย: Anusit Arayajuljit วันที่ 7 ธันวาคม 2556 16:27 น. IP:Unknown


แสดงความคิดเห็น
 
ข้อความ:
 
PIN: โปรดพิมพ์เลข สามเจ็ดเจ็ดแปด ในช่อง
ชื่อ:
อีเมล์:
 
 
 
คำสั่งพิเศษ:

ตัวหนาๆ = [b]ตัวหนาๆ[/b]

Gallus gallus domesticus = [i]Gallus gallus domesticus[/i]

WARNING! = [font color=#FF0000]WARNING![/font]

http://www.dpst.in.th = [url]http://www.dpst.in.th[/url]

scnop@mahidol.ac.th = [email]scnop@mahidol.ac.th[/email]

= //Angry

= //Grin

= //Kidding

= //Laugh

= //Sad

= //Wow

= //Smile

= //Cool

= //Huh

= :-D

แทรกรูปภาพ [img]http://www.somewhere.com/somefile.jpg[/img]

Go top...

โครงการพัฒนาและส่งเสริมผู้มีความสามารถพิเศษทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (พสวท.)
Development and Promotion of Science and Technology talents project (DPST)
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
924 ถนนสุขุมวิท แขวงพระโขนง เขตคลองเตย กรุงเทพฯ 10110
โทร. 02-392-4021 โทรสาร. 02-381-0750
Webmaster: scnop@mahidol.ac.th